我又来区分重积分、曲线积分、曲面积分，这次还是期末辽hhh的错。 一直看不懂高数的第十章、第十一章，现在终于有空弄清楚辽了。
一、重积分要理解重积分，我们先来回顾一下定积分的概念。
(一)首先要明确什么是定积分，常见的形式是
要知道，这不是定积分的第一种形式。 定积分是集中的小蜜蜂函数和x轴包围的面积。 如图所示
用“分割、求和、取极限”的方法求出[a，b]上由f(x )和x轴包围的面积，将该面积定义为曲边梯形的面积。
具体步骤：
分割
将[a，b]分割为多个小区间，在各小区间代替细长长方形的高度，近似某点的高度。 求和
把所有这些小长方形的面积相加，可以看到作曲边梯形面积的近似值。 取极限
将[a，b]区间无限细分，当各个小长方形的宽度接近0时，所有小长方形的面积之和的极限可以看作是曲边梯形的面积。 也就是说
但是，这样记住很麻烦，所以给出最初定积分的记住方法
左边是定积分的形式，给出积分区域[a，b]和积分变量dx，表示可以求出f[x]在[a，b]上的与x轴包围的面积。 但别忘了，这只是一种表达，原意还是右式的。求曲边梯形的面积
注意：这里的积分区域是一维的，是x轴上的积分。 )二重积分二重积分在计算上是将其转换为两次定积分，但其本质含义却无法理解。
上面所说的定积分的意思其实是求曲边梯形的面积，二重积分也同样求出曲顶柱体的体积。 求体积的步骤还是类似的，仍然是“分割、加法、求极限”的思想。
分割
将d区域分割成很多小的矩形区域。 图中的I就是其中之一。 因为害怕头晕，所以找了只分割一个区块的hhh，但请记住它确实被分割成了很多区块。 求和
将每个任意一点(i，i )代入z=f(x，y )得到的z作为一个小柱体的高度，求出这点小柱体的体积之和。 取极限
将d分成无限多的格子，使每个格子的面积为0，所有柱体体积之和的极限可以看作是作曲中顶级柱体的体积。 也就是说
但是，这样看还是感觉很复杂……所以，定义了二重积分
的双积分公式。 d表示积分区域。 如上图所示，是xoy面上的区域。 d是面积的要素，实际上也可以说是分割后的小矩形的面积。
右式果然是其本质含义。 也有求曲顶柱体的体积中表示平面片材质量的说法。 如果你感兴趣的话可以看看。 也有助于理解三重积分。
注意：这里的积分区域是二维的，是xoy面的积分。 (三重积分)三重积分不同。 表示物体的质量。 先看看图吧
我知道物体的质量是m=V，但有时密度并不均匀。 此时，如何求出立体图形的质量呢？ 我们把一个立体图形分成很多块，乘以每个块对应的密度，就可以近似得出其质量。
果然是一模一样的
分割
是图中橙色的立体图形，是将分割成多个小的矩形柱体而成。 请小心。 被图中的橙色立体图形分割。 (区域d是在xoy面上的投影)总和
在分割出的各个小区域中取任意点(i，i，i )，建立乘积f(I，i，i )VI，并求和。 取极限
如果将无限分割，则每个小柱体的体积将趋向于0。 此时，将f(I，i，i )VI ) I=1…n )全部相加并取极限，即可得到物体的质量。
官方直接给予
左边的三重积分公式：是包含x轴上、y轴上、z轴上区域的积分区域，dv表示体积元素，实际上是分割的小圆柱体的体积，f(x，y，z )是密度函数，密度随下x、y、z的变化而变化。
右式实际上可以理解为V的总和，得到物体的质量。
注意：这里积分区域已经达到了三维，用空间直角坐标系进行积分。 二、曲线积分(一)弧长的曲线积分/第一类曲线积分弧长的曲线积分，得到了曲线杆件的质量，m=V，其中v表示曲线的长度。 我们计算其长度，乘以密度函数就可以了。 我们正在按照以前的想法展开。
分割
如图所示，将圆弧段AB分割为几个，取其中一个表示为s。
求和
在分割后的各个小区域中取任意点(i，i )，作积f(I，i )si，作和。
取极限
如果无限分割AB，则每个小弧段的长度将趋向于0。 此时，如果将f(I，i )si ) I=1…n )全部相加并取极限，则得到该弧的质量。
将AB表示为l，对弧长s进行积分得到公式
左式： l是圆弧段AB，ds是圆弧要素，也可以说是被分割的小圆弧段的长度。 求小圆弧段长度ds的简单技巧是利用直角三角形。
实际上，用直线连接AB的两点，在水平方向和垂直方向分别制作直线，构成直角三角形。 由于取得了步骤3的极限，此时可以将直线AB近似看作s。
另外，由于需要进行积分计算，所以对x和y两者进行积分不方便。 因此，我们将x、y转换为参数方程，只用一个参数表示两个变量。 也就是说：
此时，可以方便地推导出我们常用的对弧长的曲线积分公式
r>此处右式：α、β分别是参数 t 的下限和上限，然后将表示x、y的参数方程代进函数 f(x,y) ,将上面求得的ds代进，就得到右式。它表示曲线形构件的质量。
注意：这里的积分是二维的，是在xoy面上对弧长的积分。
也可以拓展到立体空间，此时变量有三个：
剩下的步骤类似，最终结果为
注意根号下的函数都是导数再平方。 （二）对坐标的曲线积分/第二类曲线积分
准备知识：变力沿曲线做功问题
我们知道，一个恒力沿着曲线做功，它做的功为W=F∙s，但是如果这个力是变力，我们应该怎么求呢? 一个变力虽然是可变的，可以变方向，可以变大小。
分割
针对方向，我们总是能将它分解成水平方向上的力和竖直方向上的力，分别为向量i，j。
针对大小，我们假定分解出的两个方向，力的大小对应不同的函数，分别为P(x,y),Q(x,y)。那么可以写出：
F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
力的公式解决了，接下来是曲线。假设有光滑曲线L。
先将L分割为许多小弧段，分别为M1，M2…Mn，取其中一个有向小弧段
来分析，因为它很短，可以用水平方向上的单位向量和竖直方向上的单位向量来表示。
其中，i 是 x 轴上的单位向量，j 是 y 轴上的单位向量。
那么曲线的表示也完成了。
所以，只研究这一小弧段MiMi-1，力在它方向上所做的功，就能用水平方向上的力和曲线、竖直方向上的力和曲线来表示。
当然这只是一小段曲线上的功.
求和
为了求出力沿着整段曲线做的功, 我们将所有小弧段上的功相加
取极限
由此引出第二类曲线积分：对坐标的曲线积分
（1） 对坐标x的曲线积分
其中，L是有向的曲线弧
左式：表示在有向曲线弧上对坐标x的曲线积分，其实也就是上面提到的在水平方向上做的功。
（2）对坐标y的曲线积分
左式：表示在有向曲线弧上对坐标y的曲线积分，其实也就是上面提到的在垂直方向上做的功。
（3）推广至空间曲线
与第一类曲线积分类似，对x、y、z做积分比较麻烦，所以还是要将这三个变量化为参数方程，再代入上面积分式。得出来的结果就是:
平面上的对坐标的曲线积分
空间上的对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分，积出来的是什么呢。这次我们先来观察它的公式:
首先看左式的积分区域 Σ，我们看到它是在二重积分号下的，推测积分积的是面积，而dS也证明了它积的的确是面积，再看函数 f(x,y,z) ,我们知道这个积分是在空间直角坐标系中的，但是为什么已经对面积进行积分，都能够求出总面积来了，却还要乘一个函数呢？
其实我们可以联想到在三重积分中，对体积进行积分后，也乘了一个函数，它就是密度函数，就不难想到，对面积的曲面积分，其实也是求出了这个面的质量。只不过求出的是质量非均匀分布的曲面壳的质量。
但是要算它可没那么简单。
我们先复习一下向量积的几何意义。
| a×b | = | a || b | sinθ ,它表示以a、b为邻边的平行四边形的面积。
那么dS也能够用这种表示方法，但是又因为dS在空间直角坐标系中一般是斜的，所以还需做进一步讨论。先上图（用word画的不容易啊）
刚刚提到的dS可以用向量的叉乘来表示，那么（直接用word打了）
既然我们把dS表示出来了，也就是表示出了∆S，把
代入
右式变成：
有没有似曾相识的感觉，反正我是没有hhh，其实这是二重积分的一种形式
还是类似于这个
所以到此我们就将第一类曲面积分转换成了二重积分。最终结果如下，Dxy是S在xoy面上的投影，毕竟积分元素都换了，积分区域也是要换成对应的。
准备知识：
速度场
速度是一个矢量，也就是说他是有方向的。
在三维空间里，在空间直角坐标系中，有xyz三个方向。
那速度就可以表示成一个（Ux,Uy,Uz）的矢量。
假设有一种密度为1的稳定流体，它的速度场为v，v是一个向量，且它可以表示为
有向曲面
曲面通常是双侧的，你可以查查著名的莫比乌斯带就是单侧曲面。
有侧的曲面可以分为上侧和下侧，此时曲面方程为z=z(x,y)，它的法向量：
这里可以把z=z(x,y)改写成 f(x,y,z)=z-z(x,y), 再对每一个变量求偏导得出法向量，然后根据z坐标判断曲面的侧向
分为左侧和右侧，此时曲面方程为y=y(x,z)
分为前侧和后侧，此时曲面方程为x=x(y,z)
单位时间内, 流过闭区域S的流量, 其中v是沿垂直于面S的方向
主要内容：
引例：设稳定的不可压缩流体的速度场为 ：v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
求单位时间内流过有向曲面Σ的流量 ϕ 。
此处讨论两种情况：
（1）有向曲面Σ是一个平面上的闭区域S，S的面积很容易算出来，它的法向量n也不会改变
所以它的流量为
注意：此处n是单位法向量
（2）设Σ是一个普通的曲面，求它的面积仍可以用“分割、求和、取极限”的方法来计算，继而得出
先复习一个知识点，看法向量n，复习一个知识点：方向余弦
方向余弦的特征：设a=(x,y,z), a的单位向量e表示为：
上式又可以改写为：
划重点了！！接下来引出对坐标的曲面积分的定义，直接上图。
由以上推导，组合形式的含义就是，求流过有向曲面的流体的流量。
而对坐标的曲面积分是由组合形式拆分出来的。
over…