如果y=f(x )是导数的已知函数，则例如
DXF(x )=2x )1)函数f ) x )可以知道吗？ 我们可以不用考虑f(x )=x2这个必要的函数就能写出来。 而且，即使追加常数，导数的结果也不会改变，所以以下所有的函数
x2 1、x23、x2 5或更常见
x2 c中c为常数，均满足性质(1)。 有其他答案吗？ 没有答案。
这个答案的理由基于以下原则。
如果F(x),G(x)是两个函数，并且有相同的导数 f(x) ，那么 G(x),F(x) 只相差一个常数，也就是说，存在一个常数 c ，使得
g(x )=f ) x ) c 该结果对区间上的所有 x 均成立。
为了理解这个命题为什么是正确的，我们注意到在区间中g(x ) f ) x )的导数为零
由于dx[g(x ) f ) x]=ddxg ) x ) ddxf ) x )=f ) x )=0之差本身一定是常数值c
g(x ) f(x )=corG(x ) x )=f ) x ) c这就是我们要创造的东西。
该原则表明等式(1)的解的形式一定是x2 c。
刚讨论的问题涉及寻找函数，该函数导数是已知的。 如果f(x )是已知的，则函数f ) x是
DXF(x )=f ) x ) )2)被称为f ) x )的导出，从f ) x )寻找f ) x )的过程是求出导出的过程。 我们发现f(x )的反导不是唯一确定的，但如果能找到一个f(x )，所有其他形式
f ) x ) c，例如，如果13x3为x2的一个导数，则所有可能的x2导数的形式
13x3 c
由于历史原因，f(x )的反导通常称为f ) x )的积分，而反微分称为积分。 f(x )积分的标准符号是
f(x ) dx )3)读作f ) x ) dx的积分。 等式
f(x ) dx=F(x ) x )完全等价于(2)。 函数f(x )称为被积函数。 )3)中细长的s符号称为积分符号，最初由dy引入。 为了说明这一点，我们官方注意到了
x2dx=13x3andx2dx=13x3c(4)都是正确的，但第一个只给出了一个积分，第二个给出了所有可能的情形。 因此，积分(3)常被称为不定积分，它是相对于定积分的(注：定积分将在后续文章中详细介绍。 )4)的第二个公式的常数c称为积分常数，经常被作为任意常数引用。 以前讨论过，为了找到函数f(x )的所有积分，首先找到一个积分是有效的，然后在末尾添加任意常数。
我们到目前为止计算的所有导数的下载相反可以改写为积分的形式。 例如，幂函数
dxxn=NXn1becomesNXn1dx=xn更方便的版本是
ddxxn 1n 1=xn其积分形式为((最好记住) ) ) ) ) )。
xndx=xn 1n 1，n1(5)总结：幂函数积分是指指数加1除以新指数。
例1:求积分：
x3dx=x44=14x4，x 572 dx=x 573573=1573 x573d xx5=x5dx=x44=14 x4xdx=x1/2dx=x3/232=23x
读者应该注意到，当n=1时，(5)的右边没有意义，因为分母为零。 这个时候
dxx积分是微积分中最重要的部分，应用广泛。 后续文章将详细介绍。
下一个积分规则是变态版本
cf(x ) dx=cf(x ) x ) dx )6)及
[f(x ) g ) x]dx=f(x ) dx(7) x ) dx )7)第一个解释常数因子可以从积分号的一边移动到另一边。 请注意，这仅适用于常数，而不适用于变量
br> ∫x2dx≠x∫xdx 左右两边分别是 13x3,x⋅12x2=12x3 。公式 (7) 是说和的积分就是各项分别积分的和。对任何有限项均成立。
为了证实 (6),(7) ，注意到他们等价于微分形式
ddx[F(x)+G(x)]=ddxF(x)+ddxG(x) 其中 (d/dx)F(x)=f(x),(d/dx)G(x)=g(x)
例2：将规则 (5),(6),(7) 组合起来，我们可以积分任何多项式。例如
∫(5−2x5+3x11)dx=5∫dx−2∫x5dx+3∫x11dx=5x−13x6+14x12+c 观察可以发现 ∫dx=∫1dx=x 。每个计算中都在某位添加了一个任意常数，保证包含了所有可能的积分。
例3：我们也能积分许多非多项式的，例如幂函数的线性组合：
公式
u=f(x) 以及
du=f′(x)dx (8) 就变为
∫[f(x)n]f′(x)dx=[f(x)]n+1n+1,n≠−1(9) 这是 (5) 更一般的泛化。
例4：实际中，我们通常显示地改变变量来使用这个想法，从而将一个复杂的积分变成如 (8) 那样简单的形式。例如
uduxdx=3x2+1=6xdx=16du
这个方法叫做换元法，因为它通过替换或改变变量来简化问题。正如公式 (9) 那样，该方法之所以成功取决去存在一个积分，被积函数的一部分实质上是另一部分的导数(当然除了常数因子外)。
注解1：例4的积分是有意构造出来似的换元法有效。为了说明这一点，观察一个类似的积分
∫(3x2−1)1/3dx=∫u1/3⋅du6x分母中的 x 无法消掉。后面的文章我们会讲到其他方法来解决这种问题，但是目前我们无法继续做下去。
注解2：许多人试图将(10)写成
∫(3x2−1)1/3dx=(3x2−1)4/34/3=34(3x2−1)4/3+c(11) 这是不对的。为了理解为何错误，回顾一下计算积分的时候，我们总是简单的验证结果，如果我们对 f(x) 的积分有所怀疑时，通过计算它的导数看是否等于 f(x) 来进行验证。很明显 (11) 不满足，因为右边的导数是
34⋅43(3x2−1)1/3⋅6x=(3x2−1)1/36x 确实不是 (10) 的积分项。
最后， sin,cos 函数的导数形式可以得出下面的积分形式：
∫sinudu=−cosu+c(13) 这些都是许多应用的有力工具，从概率论到声波的传播。
例5： (a) 求积分
∫cos3xdx=∫cosu⋅13du=13∫cosudu=13sinu+c=13sin3x+c (b) 求积分
∫xsin(1−x2)dx 我们利用 u=1−x2 使得 du=−2x,xdx=−12du ，然后利用 (13) ：
∫xsin(1−x2)dx=∫sinu⋅(−12du)=−12∫sinudu=12cosu+c=12cos(1−x2)+c
注解3：从例4和例5中可以看到微分符号在用换元法计算不定积分时极其有用。这个方法对许多学生而言就像一种魔术。为了理解为何它是合法的(数学中不允许有魔术)，将积分形式应用到该方法有效的积分上
∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f(u)du 如果我们对它进行积分，则
∫f(u)du=F(u)+c 或者
F′(u)=f(u) 然后因为 u=g(x) ， (14) 可以写成
∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+c=F[g(x)]+c(15) 证明这个过程的一切就是观察到 (15) 是正确的答案，因为利用链式法则
ddxF[g(x)]=F′[g(x)]g′(x)=f[g(x)]g′(x) 链式法则让我们可以利用符号 dx,du 。
最后，给出换元法的基本流程：
认真选择 u ，也就是u=g(x)计算 du=g′(x)dx 换元 g(x)=u,g′(x)dx=du 。这时候积分必须只是关于 u 的项，不能存在x。如果不满足，那么重新选择 u 计算步骤3中的积分用g(x)替换 u ，得到全部关于x的结果