很难记住各种分布及其含义，每次使用，查教科书资料也很麻烦，分布的重要性质也到处都是，找不到，就在这里总结用作资料卡。
内容有各种常见的概率分布，写有语义、密度函数形式、期望、方差、特征函数。 其他性质觉得重要就添加(觉得有趣但没什么用就不添加)。
首先，说明使用r中的随机数、密度函数、分布函数、分位函数的命令，给出使用正态分布的例子。 以下说明从略。 都使用r语言。
随机数是从遵循某种分布的总体中提取样本
rnorm(5) [1] 0.2858567-0.75783480.632240.6289619-0.6743083概率密度函数(pdf )分布的概率密度函数值。 有时称为直接密度函数。 dnorm(0) [1]0.3989423dnorm ) 3.2 ) [1] 0.002384088此函数允许绘制概率密度函数的图形。
x=seq (-5，5，by=0.01 ) y=dnorm(x ) plot(x ) x，y累积分布函数(cumulativedistributionfunctioncdf ) )。
意思是对pdf的积分函数。 有时也称为直接分布函数。 pnorm(0) [1]0.5pnorm ) 1.3 ) [1]0.9031995pnorm ) 3.6 ) [1] 0.9998409分位函数cdf的反函数，从pdf理解起来更简单，pdf下的总面积为1，q )
到值q(0.9 )的累积概率为0.9。 显然，该函数的一个有用性是否定域qnorm(0.5 ) [1]0q norm (0.9031 ) [1] 1.29942 q norm (0.05 ) )显著性水平为0.05，拒绝域(-1.9599666 )
到值q(0.9 )之间，qnorm ) 0.9 ) [1] 1.281552 sum (rnorm ) 1e5)/1e5)1) 0.90048 .退化分布； 2 .伯努利分布： 3.Categorical分布： 4 .二元分布； 5 .多重分布6 .中餐厅分布
7 .泊松分布： 8 .几何分布： 9 .超几何分布： 10 .负二元分布(也称为wndds分布)； 11 .正态分布：
12 .均匀分布13 .指数分布； 14 .卡方分布： 15.t分布； 16.F分布： 17 .柯西分布：
18 .伽马分布： 19 .贝塔分布： 20 .对数正态分布； 21 .韦氏分布22 .逻辑分布： 23.kwdsl分布：
1 .退化分布(degenerate distribution ) [1]基本
密度函数
随机变量的值只取常数。 虽然实际上不是随机的，但由于被视为随机变量的劣化状况，所以称为劣化分布。 期待分散
特征函数
[2]重要性质
2 .伯努利分布[1]基本
随机变量只取0或1，表示事件发生或不发生，也可以说事件发生了0次或1次
密度函数
是随机变量，是分布的参数。 期待
分散性
特征函数
[2]重要性质
3.Categorical分布[1]基本
伯努利分布是一次只能得到两种可能的结果{ 0，1 }的实验，Categorical分布有很多可能性{ 1，2，K}。
密度函数期望方差特性函数
[2]重要性质
4 .二元分布[1]基本
以下，简称为
重伯努利分布是，一个伯努利事件成功的概率是重复下一个伯努利事件，成功的次数为的概率。 随机变量是可能的密度函数
让我们画一张密度图，
期望k=0:15 #随机变量p=dbinom(k，15，0.7 ) #15重伯努利，成功概率为0.7plot(k ) k，p
分散性
特征函数
[2]重要性质
1 .一些二项式系数的关系式
2.2项为
的情况下，正态分布k=0:100p=dbinom(k，100，0.4 ) plot(k ) k，p )5.与多项分布(多项分布)近似
[1]基本
也可以进行多次Categorical分布试验，c
ategorical 分布的事件用 表示，对应的概率为 ，进行 次试验（每次都会发生 中的一个）各个事件发生的次数为 ，注意有 ，概率为， 密度函数期望 方差 特征函数
[2]重要性质
1.从离散分布抽iid的样本，样本发生的概率都可以看作是多项分布。多项分布在推导皮尔逊卡方定理、列联表的卡方检验都有用到。是一个重要且很有用的分布。
6.中餐馆分布（Chinese restaurant process CRP ）这是本专栏中“kwdsl过程和中餐馆过程”的部分内容，里面同时也说明了该分布的用处。
多次伯努利分布（每次试验只有两种结果）得到二项分布，多次Categorical 分布（每次试验有K种结果）得到多项分布。进一步考虑。如果每次试验有无穷种可能结果，进行多次试验又会如何。
[1]基本
把过程想象成客人进入餐馆就坐的过程，餐馆中有无穷个桌子。每一次试验相当于一个客人选择一个桌子坐下。
圆圈表示餐桌，数字表示客人，1号客人选择了第一个餐桌，4号客人选择了第3个餐桌。
看看上图发生的概率，
首先所有桌都没人，1号进入直接坐在1桌；
2号进入，分别以概率
坐在1桌和一个新的空桌，结果是坐在了1桌；3号进入，分别以概率
坐在1桌和一个新空桌，结果坐在了一个新空桌2桌；...
8号进入，分别以概率
分别为进入第1,2,3,4个桌和一个新空桌的概率，结果坐在了3桌；
故上图发生的概率为，
概率密度函数
关于这个概率的计算前人早就算好了，
A是
， 为第 类的数量，即坐在第k个桌的人数， 当前非空的桌数量。 library(nimble)> rCRP(n=1, conc = 2, size=15) #alpha也称concentration，即这里的conc参数。15个客人 [1] 1 2 3 1 1 4 5 1 5 1 3 4 1 1 1> rCRP(n=1, conc = 2, size=15) #该函数目前只能一次产生一个随机样本，即 n 只能为1 [1] 1 2 2 2 3 4 3 2 2 3 2 5 5 3 6> rCRP(n=1, conc = 2, size=15) [1] 1 2 1 3 1 4 4 2 4 4 2 4 1 4 4> rCRP(n=1, conc = 2, size=15) [1] 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1#可以看到有时分为5类，有时分为6类，有时分为4类，...z = c(1,1,2,3,1,3,4,3)dCRP(z, conc = 1, size=8) #这里看看上面例子发生的概率。注意size要和z的长度值相等[1] 9.920635e-05从上面的分析可知
越大，客人坐到空桌的概率越大 ，也就 参数越大，上面产生随机样本时类越多。如果已知c(1,1,2,3,1,3,4)，看上面可以算出
条件概率分布，懒得自己编程，也可以利用dCRP()函数和关系 计算， a = c()for(i in 1:5){ z7 = c(1,1,2,3,1,3,4) z8 = c(1,1,2,3,1,3,4,i) a = c(a,dCRP(z8, conc = 1, size=8)/dCRP(z7, conc = 1, size=7))}> a #即已知前7个情况，第8个客人选择各个餐桌的概率[1] 0.375 0.125 0.250 0.125 0.125这里有一个问题是dCRP()可能会很小，看上面size=8时会计算出9.920635e-05，如果size更大概率会更小使得R语言认为该值为0，导致除法没法算，方法自然是计算时使用概率的对数值，dCRP()设置参数log即可，
> dCRP(z1, conc = 1, size=400) #z1的size=400，即试验了400次[1] 0> dCRP(z1, conc = 1, size=i,log=1) #实际计算时，应该注意这个值为概率对数值[1] -922.6469其实可以看到R语言里面很多计算概率的函数都会设置log这个参数，也是预防这个问题。
期望 方差 特征函数[2]重要性质
7.泊松分布( )[1]基本
泊松分布起初是作为二项分布的近似引出的。当二项分布中
很大（计算 困难），而 很小时，取 ，有 ，其中 。 密度函数
为随机变量，可取0, 1, 2, ...
密度图，
k = 0:20 #随机变量取值，可取到无穷大，这里只取到20p = dpois(k,0.8)plot(k,p)期望
方差
特征函数
[2]重要性质
1.这个分布的期望方差相等
2.极限分布(
)为正态分布画个 图看看，
k = 0:50p = dpois(k,20) #lambda = 20plot(k,p)
[3]为何要引入泊松分布来近似二项分布
[4]泊松分布也可以不由二项分布推出来，而由一些条件独立于二项分布推出来
[5]广义泊松分布
泊松分布的期望和方差值相等是一个特点，也是一个很强的限制，然而现实生活中大多数据是不符合期望方差相等的，于是创建一个不限制期望方差相等的离散分布。
对应期望方差，
时就回到了一般的泊松分布。 8.几何分布
[1]基本
进行多次伯努利试验，直到第
次才首次成功的概率， 为随机变量可取1，2，... 密度函数
概率密度图，
k = 0:50 #注意，随机变量确实应该从1开始，但R语言中k=0，实际是+1后再代入计算p = dgeom(k,0.3) #在使用rgeom()产生的随机数也是从0开始，应+1plot(k,p)期望
方差
特征函数
[2]重要性质
1.无记忆性
表示首次成功时的已经试验的次数。一种情况是第 次首次成功，概率为 ；另一种情况，前次 没有成功，那么再试验 次首次成功的概率为 。再试验 次和直接试验 次概率相同，好像前 次没有发生，称为无记忆性。只有几何分布有这种无记忆性。 9.超几何分布
[1]基本
一批产品共有
个，次品共有 个，从中抽取 个，则次品 为个的概率。然而，一般是无法提前知道一批产品中共有多少次品。 密度函数
随机变量为
，可取0, 1, 2, ...,密度图，
k1 = 0:8p = dhyper(k1,m=10,n=30,k=8) #产品中次品10个，好品30个，每次抽8个plot(k1,p)期望
方差
特征函数
[2]重要性质
10.负二项分布（又称wndds分布)[1]基本
多重伯努利事件中，已知成功
次，则达成成功 次时的试验次数为 的概率，第 次试验刚好达到第 次成功。随机变量为试验次数 。如，要成功3次，进行5次试验就出现第3次成功的概率 密度函数k1 = 0:10 #计算时，会自动 k1+4 ，于是随机变量取值为，4,5,...,14p = dnbinom(k1,size=4,prob=0.3) #伯努利试验成功的概率为0.3，需要成功4次plot(k1,p)
期望
方差
特征函数
[2]重要性质
1.期望方差的计算：
wndds分布
是重复独立试验（成功概率 ）中成功 次所需要的试验次数 可以把它分解为 ，其中 为在前一次成功后，再成功一次所需要的试验次数， 服从几何分布,期望为 ，方差是 。得，
“ 常用概率分布总结(2)”接其它分布。