下一个微分方程是二阶常系数齐次线性微分方程。 微分方程和特征方程
当特征方程的解是两个不同的实根时，微分方程的一般解如下
对于两个相同的重根：
对于共轭虚根：
但是，这些是怎么来的呢？ 为什么要用特征方程辅助研究呢？ 为了解决这个问题，我去图书馆查了一些电子资料才知道。
关于齐次线性微分方程，如下所示。
线性微分方程的解有无数个，但其解的结构与线性方程相似。 在无数个解中有一组没有线性关系的解，找到他们就可以表示其他所有的解。 但是，如何判断方程中有几个没有线性关系的特解呢？ 此时，为了辅助，需要特征方程式。 特征方程的p(x )可以看作常数
这个微分方程的解具有什么样的结构，由它的系数函数p[x]和次数决定。 我们设计了一元n次方程，其中未知数的最高阶对应于微分方程的最高阶，并将微分方程的系数函数作为一元n次方程的未知数的系数。 于是，通过一元n次方程有多少解，就可以说明微分方程有多少线性无关特解。
根据代数基本定理，复系数的一元n(n=1)次多项式在复域中至少有一个根，重根按重复次数计算(只有一个根表示有n个相同的重根)。 这就注定了特征方程一定有n个解，相应的n阶微分方程一定有n个线性无关特解。
什么是线性关系？ 我个人的理解是，对于两个量来说，将它们一分为二后，得到的数必须是常数(比例)才能相互表示。
虽然是不恰当的比喻，但是jpdxmt的本事都不一样，所以谁也代替不了谁。 即使前六个葫芦童子联手，也无法代替老七宝葫芦的重要作用。 但是，他们合并为葫芦zxdsb是不同的。 如果把zxdsb算作第8个葫芦童子，那么他们8人就线性相关了。 因为zxdsb能掌握的技能只是前7种技能的组合，很少出现新技能。 即使原jpdxmt不合并，相互配合进行组合战也能发挥zxdsb个人的作战效果。 总之，用数学语言来说，葫芦zxdsb是jpdxmt的线性表示。
如果一组函数中的每个函数都不能用其他函数表示，则该组函数与线性无关。 线性无关
那么，相对于二阶常系数，一阶线性微分方程变得更简单。
我们只需要找到两个无关的特解就可以线性表示所有的解。 通过观察，发现二阶微分、一阶微分与原函数之间有常数p和q的差。 那就必须有某个函数求导出后的和和原来的常数之差。 学过的初等函数中只有自然函数e构造底数的指数函数和常数函数。
我们把候补函数代入方程式。 结果是特征方程式
因此，取哪个值取决于特征方程式的眼睛颜色。 如果是两个不同的实根，那两个无关的特解可以这样设定。
如果有两个相同的重根，请这样设定。
将y2代入微分方程后：
对于两个共轭虚根：
根据欧拉公式：
可以转换。
线性微分方程解的结构类似于线性方程，可以类比。
以前我直接把微分方程背公式，但我不知道它是怎么来的。 心里一直是这片乌云没有消失，无论是做相关题目还是解决力学微分方程，总是忘记。 我决心要弄清楚。 我认为只有立体地、多方面地学习一个知识才能好好掌握。 如果不是探索微分方程通解的数学原理，你可能不知道欧拉公式能这么用。 而我在探索的过程中也享受到了“朝闻道夕死是可”的喜悦。
下笔，必须清楚自己的知识。