使用投影法计算的第一种曲面积分设定函数是在曲面上定义的连续函数。 曲面方程具有对和的连续偏导数。 也就是说，该曲面是光滑的，在平面上的投影可以求出面积。 如果曲面由方程给出，坐标面上的投影区域与函数具有连续的一阶偏导数，且函数在曲面上是连续的，则由方程给出曲面，坐标面上的投影区域与函数上有连续的一阶偏导数，且函数在曲面上是连续的，则给出典型例题1 .
所以
将所请求的积分变换为重积分(投影到面上) : )投影区域是环形区域，考虑使用极坐标：
2 .圆柱面在球面内的面积.「解析」
法一曲线积分法
圆柱面上的投影曲线其弧微分为
求出的面积是面上方部分的2倍：
法二曲面积分
以对应地被删除曲面块(圆柱面)在平面上的投影区域为曲面块的方程式为面积源
所以要求的面积是
用投影法计算的第二类曲面积分根据有向曲面方程，分为以下3种情况：
有向曲面由方程给出，投影在坐标面上的区域，函数向上具有一阶连续偏导数，函数向上连续时，有向曲面的一侧为前侧时上式右端为正符号，为后侧时上式右端为负符号。 如果曲面由方程式给出
有向曲面由方程式给出，投影在坐标面上的区域，函数向上具有1阶连续偏导数，函数向上连续时，有向曲面取一侧为右侧时，上式右端为正符号，为左侧时，上式右端为负符号。 当曲面由方程给出时
有向曲面由方程给出，投影在坐标面上的区域，函数在上具有1次连续偏导数，如果函数在上连续，则有向曲面的一侧为上侧时，上式右端为正符号，为下侧时，上式右端为负符号。 如果曲面由方程式给出
上述方法称为「解析」，过程称为“一投二代三定号”。 在这种方法中，为了计算对坐标的曲面积分，需要首先将积分曲面表示为或的形式，然后将曲面分别代入被积函数，成为在坐标面投影领域的曲面的二重积分。 积分曲面不能用或的形式表示时，允许各子块用或的形式表示。 此时，以上积分为各子块的积分之和，各子块的积分为坐标面的投影区域中的二重积分。 对于坐标的曲面积分和坐标的曲面积分也需要用同样的方法作为二重积分进行公式化。 回顾以往居家学|2019-2020第二学期高等数学期末考试习题
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