以前，我们学习了第二型曲线积分。 主要学习内容为第二型曲线积分的计算，其积分微元为定向弧(曲线)； 接下来的第二型曲面积分也主要是学习其计算方法，其积分微小要素是具有方向的曲面。 两者有很多共同点。
学习的主要内容：
一.第一型曲面积分
二.有向曲面和第二型曲面积分的概念
三.第二型曲面积分的计算
知识点5 :分面计算法
知识点5 :统一坐标面计算
三.高斯公式
知识点六：高斯公式的内容与理解
知识点7 :运用高斯公式
空间曲线的切向量
空间曲面的法向向量
一.第一型曲面积分
首先，我们来回顾一下第9章学到的第一型曲面积分——在数函数曲面上的积分。
第一型曲面积分计算相对于可积型曲面s:z=z(x，y )，曲面上的任意一点的法向量为
=、
当您投影到xOy平面时，会得到z轴的方向余弦，将z指定为x，y函数，然后替换dS，如下所示：
由于第一型曲面积分具有奇偶性、对称性两个重要性质，对求解问题的计算非常有用。
例
绘制图形时，会观察到积分区域(一个球体的表面)。 由于这个曲面关于x轴对称，所以如果被积式中有关于x的奇函数的项，则其积分结果为零。 对y也可以说是同样的道理。
3358www.Sina.com/相对于积分曲线任意旋转x、y、z，例如将x变换为y，将y变换为z，将z变换为x后，积分曲线不变化。 积分曲线具有对等性时，其积分满足对等性()
轮换对称性
解：在这里，我们发现在给定的s曲面方程中任意置换x、y、z后，方程不变，所以具有对等性。
例有向曲面
当您回顾直线段时，其方向由方向向量指定。 在这种情况下，这称为向量。 曲面上不存在方向向量，但存在法线向量，因此可以使用法线向量指定曲面的方向。
几个微分关系
类似于曲线积分，它包括
第一
二型曲面积分的概念第二型曲面积分与第一型曲面积分关系
由上可知：
第二型曲面积分的性质有向性线性性积分曲面可加性
三、第二型曲面积分的计算
计算第二型曲面积分的第一种方法，是根据第二型曲面积分和第一型曲面积分的关系，以及第一型曲面积分的计算公式推导而来的。
关于方向与符号问题
以投影到xOy平面为例，可以想象，当单值曲面取上侧，法向量与z轴正向的夹角才是小于的，转化后的二重积分取正号，反之取负号。
知识点5：分面计算法
由上看出，转化后的二重积分与z(x, y)的偏导数存在关系，但是有一项只需要乘以1即可，不用乘以偏导数，那就是dxdy这一项。那我们不妨做一些处理，只留下这一项，让转化后的二重积分形式更简洁。
启示我们的是，在计算一个普通的第二型曲面积分时，可以分别计算它投影到三个坐标面上的积分，即
操作步骤：
画出相应的图形，即对应的积分曲面大概长这么样子，方向如何；分面投影，得到单值函数，代入原二型积分的被积表达式，并且确定符号，即得到二重积分；根据上一步得出的坐标面上的投影，求出二重积分的积分区域
例
求, 方向为上侧.
第一步，
这个积分曲面是一个球面的一部分；
第二步，分面投影，此处仅需要投影到zOx平面计算，显然，投影是一个四分之一圆面的扇形，代入y的值，符号为正，即可计算二重积分；
第三步，将投影的扇形作为二重积分的积分区域，计算二重积分
例
观察到x+y+z=1，具有对等性，利用此性质解题
例
知识点5：统一坐标面计算
分面计算，一般情况下需要我们分三个坐标面投影再计算，也就是需要“投影、积分”操作三次，计算麻烦还不好说，很有可能我们连某个坐标面上的投影大致长啥样都不清楚，那么这样就有障碍了。
有没有什么更好的方法，可以绕开那些复杂的坐标面投影，只算我们熟悉的某一个坐标面投影上的二重积分呢？
让我们回到最开始推导第二型曲面积分的计算公式时：
也就是说，我们最开始就已经得到了统一到xOy坐标面内的计算公式 ，类似的三个坐标面上的统一投影计算公式如下，选取原则为哪个坐标面上的投影熟悉就用哪个。
例
解：首先也是作出大致图形，
其次，我们很难想象这部分曲面投影到zOx平面或者yOz平面是什么样子，但是根据柱面的特点，我们知道，这部分曲面投影到xOy平面一定是一个圆，那么就可以都投影到xOy平面内计算二重积分了。
注意，一旦将第二型曲面积分转化为二重积分之后，就不可以再随意化简积分不等式了，但是，却可以使用对称性（奇偶性）简化运算；
最后计算二重积分即可，用到了极坐标变换，注意要变换后还要乘以雅可比行列式（这里是r）
三、高斯公式 知识点6：高斯公式的内容与理解
定理的使用前提：
由闭曲面围成空间闭区域；函数在该闭区域上具有连续的一阶偏导数高斯公式默认计算的是曲面外法方向的积分对于立体表面而言，法线是有方向的，对应有向曲面的方向：
一般来说，由立体的外部指向内部，就是曲面的内法方向，
反过来，由立体的内部指向外部，就是曲面的外法方向。
高斯公式的使用与格林公式有相似之处，比如
最开始看看是否可以对被积表达式进行化简；求出三个偏导数之和，看看方不方便使用三重积分计算（格林公式则为二重积分）；检验满不满足公式的前提不满足则需要补面（格林公式则需要补线），补的面一般与坐标面平行（正如补的线一般与坐标轴垂直）知识点7：灵活使用高斯公式
例
先小结一波计算第二型曲面积分的步骤:
作图，大致画出积分曲面的形状；对被积表达式进行尽可能的化简；计算三个偏导数之和，看看适不适合使用高斯公式；对于分面计算、统一计算，按照之前的路子计算二重积分即可；对于高斯公式，首先检验其使用条件；对于不满足条件的，补面；转化为三重积分，注意调整符号；通常用分面计算方法计算补上的面的二型积分，作差即可；
例
第一步 ，作图，这是半个球面
第二步，化简被积表达式
第三步，预先计算三个偏导数之和，发现结果很简洁，适用高斯公式
第四步，检验高斯公式的使用条件，发现并不是空间闭区域，故需要补面（与坐标面平行），确保围成空间闭区域
第五步，转化为三重积分，注意符号
第六步，求补上的面上的二型曲面积分（注意符号），并减去
复连通域上的高斯公式
例
解：很遗憾，最开始不可以化简被积表达式，所以只能耐着性子求偏导数之和，
结果很简洁，为0，那么高斯公式石锤。
检验使用条件，发现(0, 0, 0)处没有一阶连续偏导数，所以需要“挖点”，即补面（闭合曲面），与格林公式中的补线类似，也要考虑之后的运算简便性。
接下来就是求补上的面的二型积分，此处就可以代入去掉分母，但是也要注意符号。